第六课 三角函数
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1. 任意角与弧度制
度量角的大小
角度制、弧度制
对于角度制的 $n^\circ$ ，它所对的弧度制 $\alpha$ 满足：
$\alpha=\dfrac{l}{r}=\dfrac{n\pi}{180}$
在一个半径为 $r$，圆心角为 $n^\circ$ 的扇形中，弧度制的表示就是弧长比半径
单位：$1\ \mathrm{rad}=(\dfrac{180}{\pi})^\circ\approx 57.3^\circ$
一弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角
在坐标系上表示角：始边为 $x$ 轴正半轴，将其逆时针旋转 $\alpha$ 度，得到终边
终边与 $\alpha$ 相同的角：${2k\pi+\alpha,k\in \Z}$
角的分类
类别 解释 正角 顺时针旋转 $\alpha>0^\circ$ 负角 逆时针旋转 $\alpha<0^\circ$ 零角 无旋转 $\alpha=0^\circ$ 类别 集合 象限角 第一象限角 ${\alpha\vert2k\pi<\alpha<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z}$ 第二象限角 ${\alpha\vert\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\pi+2k\pi,k\in \Z}$ 第三象限角 ${\alpha\vert\pi+2k\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z}$ 第四象限角 ${\alpha\vert\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi<\alpha<2\pi+2k\pi,k\in \Z}$ 轴线角 终边在坐标轴 ${\alpha\vert\alpha=\dfrac{k\pi}{2},k\in\Z}$ 终边在 $x$ 轴 ${\alpha\vert\alpha=k\pi,k\in\Z}$ 终边在 $x$ 轴正半轴 ${\alpha\vert\alpha=2k\pi,k\in\Z}$ 终边在 $x$ 轴负半轴 ${\alpha\vert\alpha=\pi+2k\pi,k\in\Z}$ 终边在 $y$ 轴 ${\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z}$ 终边在 $y$ 轴正半轴 ${\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z}$ 终边在 $y$ 轴负半轴 ${\alpha\vert\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z}$ 扇形
弧长公式：$l=\dfrac{n\pi r}{180}=|\alpha|\cdot r$
面积公式：$S=\dfrac{n\pi r^2}{360}=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}|\alpha|\cdot r^2$
2. 三角函数
定义
如图，令 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=r$
名称 定义 在单位圆上 $r=1$ 正弦 $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$ $\sin\alpha=y$ 余弦 $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$ $\cos\alpha=x$ 正切 $\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$ $\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$ 定义域和符号
三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 $\sin\alpha$ $\alpha\in\R$ $+$ $+$ $-$ $-$ $\cos\alpha$ $\alpha\in\R$ $+$ $-$ $-$ $+$ $\tan\alpha$ ${\alpha\vert\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z}$ $+$ $-$ $+$ $-$ 记忆方法：ASTC（正二切三余四全一）
象限 口诀 解释 第一象限 A 第一象限三个函数全正（All） 第二象限 S 第二象限 $\sin$ 为正 第三象限 T 第三象限 $\tan$ 为正 第四象限 C 第四象限 $\cos$ 为正 同角三角函数之间的关系（切化弦，弦化切）
平方关系：$\sin^2x+cos^2x=1$
商数关系：$\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$
例题：若 $\dfrac{3\sin x+4\cos x}{\cos x+2\sin x}=2$，则 $1-\sin x\cos x-\cos^2x$ 的值为？
答案
由题目得 $2\cos x=\sin x$
即 $\tan x=2$
原式 $=\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}=\dfrac{\tan^2x-\tan x}{\tan^2x+1}=\dfrac{2}{5}$
诱导公式
$\sin$ $\cos$ $\tan$ 公式一 $\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$ $\cos(\alpha+k\cdot2\pi)=\cos\alpha$ $\tan(\alpha+k\cdot2\pi)=\tan\alpha$ 公式二 $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$ $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ $\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$ 公式三 $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ $\cos(-\alpha)=-\cos\alpha$ $\tan(-\alpha)=\tan\alpha$ 公式四 $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ $\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$ 公式五 $\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$ $\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$ 公式六 $\sin(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$ $\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$ 口诀：奇变偶不变，符号看象限
口诀 解释 奇 $\dfrac{\pi}{2}$ 的奇数倍 偶 $\dfrac{\pi}{2}$ 的偶数倍 变 改变函数名 符号看象限 把 $\alpha$ 当锐角，代入左边的式子，判断正负 例题：$\dfrac{\sin(3\pi-\alpha)\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(\pi-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)\sin(-\alpha)\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)\tan(-\pi-\alpha)}=$
答案
原式 $=\dfrac{\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{(-\cos\alpha)\cdot(-\sin\alpha)\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tan\alpha)}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$
图像与性质
$y=\sin x$ $y=\cos x$ $y=\tan x$ 图像 定义域 $x\in\R$ $x\in\R$ ${x\vert x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z}$ 值域 $y\in[-1,1]$ $y\in[-1,1]$ $y\in\R$ 最值 当 $x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z$ 时 $y_{\min}=-1$
当 $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z$ 时$y_{\max}=1$当 $x=-\pi+2k\pi,k\in\Z$ 时 $y_{\min}=-1$
当 $x=2k\pi,k\in\Z$ 时$y_{\max}=1$周期性 周期：$2k\pi,k\in\Z$
最小正周期：$2\pi$
$y=A\sin(\omega x+\varphi)$：$T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert}$周期：$2k\pi,k\in\Z$
最小正周期：$2\pi$
$y=A\cos(\omega x+\varphi)$：$T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert}$周期：$k\pi,k\in\Z$
最小正周期：$\pi$
$y=A\tan(\omega x+\varphi)$：$T_{\min}=\dfrac{\pi}{\vert\omega\vert}$奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇偶性 若 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 是奇函数，则 $\varphi=k\pi,k\in\Z$
若 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 是偶函数，则 $\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z$若 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 是奇函数，则 $\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z$
若 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 是偶函数，则 $\varphi=k\pi,k\in\Z$单调性 递增区间：$[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z$
递减区间：$[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z$递增区间：$[-\pi+2k\pi,2k\pi],k\in\Z$
递减区间：$[2k\pi,\pi+2k\pi],k\in\Z$递增区间：
$(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi),k\in\Z$对称性 对称轴：$x=\dfrac{\pi}{2}+kx,k\in\Z$
对称中心：$(k\pi,0),k\in\Z$对称轴：$x=kx,k\in\Z$
对称中心：$(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in\Z$无对称轴
对称中心：$(\dfrac{k\pi}{2},0),k\in\Z$图像变换
例：从 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$
从 到 操作 $y=\sin x$ $y=A\sin x$ 纵坐标伸长到原来的 $A$ 倍 $y=A\sin x$ $y=A\sin(\omega x)$ 横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍 $y=A\sin(\omega x)$ $y=A\sin(\omega (x+\varphi))$ 向左平移 $\varphi$ 个单位（左加右减） $y=A\sin(\omega (x+\varphi))$ $y=A\sin(\omega (x+\varphi))+B$ 向上平移 $B$ 个单位（上加下减） $\cos$ 和 $\tan$ 同理
例题：为了得到函数 $y=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图像，只需把函数 $y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图像（ ）
A. 向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位 B. 向右平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位
C. 向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位 D. 向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位
答案
统一函数名：$y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})=\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})$
由 $\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})$ 到 $\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$：向右平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位
故选B
3. 三角函数公式
和差角公式
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$
二倍角公式（升幂缩角）
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
$\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
降幂公式
$\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha$
$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}$
$\tan^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}$
辅助角公式
$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\varphi)$
其中 $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
常见的三角不等式
若 $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，则 $\sin x<x<\tan x$
若 $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，则 $1<\sin x+\cos x<\sqrt2$
积化和差公式
$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$
$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$
和差化积公式
$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，两条余；余减余，余不见，符号很讨厌