第六课 三角函数

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6.三角函数
  6.1.任意角与弧度制
    6.1.1.度量角的大小
    6.1.2.角的分类
    6.1.3.扇形
  6.2.三角函数
    6.2.1.定义
    6.2.2.定义域与符号
    6.2.3.同角三角函数之间的关系
    6.2.4.诱导公式
    6.2.5.图像与性质
    6.2.6.图像变换
  6.3.三角函数公式
    6.3.1.和差角公式
    6.3.2.二倍角公式
    6.3.3.降幂公式
    6.3.4.辅助角公式
    6.3.5.常见的三角不等式
    6.3.6.积化和差公式
    6.3.7.和差化积公式

1. 任意角与弧度制

  1. 度量角的大小

    角度制、弧度制

    对于角度制的 n∘n^\circ ，它所对的弧度制 α\alpha 满足：

    α=lr=nπ180\alpha=\dfrac{l}{r}=\dfrac{n\pi}{180}

    在一个半径为 rr，圆心角为 n∘n^\circ 的扇形中，弧度制的表示就是弧长比半径

    单位：1 rad=(180π)∘≈57.3∘1\ \mathrm{rad}=(\dfrac{180}{\pi})^\circ\approx 57.3^\circ

    一弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角

    在坐标系上表示角：始边为 xx 轴正半轴，将其逆时针旋转 α\alpha 度，得到终边

    终边与 α\alpha 相同的角：{2kπ+α,k∈Z}\{2k\pi+\alpha,k\in \Z\}

  2. 角的分类

    类别 解释
    正角 顺时针旋转 α>0∘\alpha>0^\circ
    负角 逆时针旋转 α<0∘\alpha<0^\circ
    零角 无旋转 α=0∘\alpha=0^\circ
    类别 集合
    象限角 第一象限角 {α∣2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert2k\pi<\alpha<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z\}
    第二象限角 {α∣π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\pi+2k\pi,k\in \Z\}
    第三象限角 {α∣π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\pi+2k\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z\}
    第四象限角 {α∣3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi<\alpha<2\pi+2k\pi,k\in \Z\}
    轴线角 终边在坐标轴 {α∣α=kπ2,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{k\pi}{2},k\in\Z\}
    终边在 xx 轴 {α∣α=kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=k\pi,k\in\Z\}
    终边在 xx 轴正半轴 {α∣α=2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=2k\pi,k\in\Z\}
    终边在 xx 轴负半轴 {α∣α=π+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=\pi+2k\pi,k\in\Z\}
    终边在 yy 轴 {α∣α=π2+kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\}
    终边在 yy 轴正半轴 {α∣α=π2+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z\}
    终边在 yy 轴负半轴 {α∣α=3π2+2kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z\}

  3. 扇形

    弧长公式：l=nπr180=∣α∣⋅rl=\dfrac{n\pi r}{180}=|\alpha|\cdot r

    面积公式：S=nπr2360=12lr=12∣α∣⋅r2S=\dfrac{n\pi r^2}{360}=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}|\alpha|\cdot r^2

2. 三角函数

  1. 定义

    如图，令 ∣OP∣=x2+y2=r|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=r

    名称 定义 在单位圆上 r=1r=1
    正弦 sin⁡α=yr\sin\alpha=\dfrac{y}{r} sin⁡α=y\sin\alpha=y
    余弦 cos⁡α=xr\cos\alpha=\dfrac{x}{r} cos⁡α=x\cos\alpha=x
    正切 tan⁡α=yx\tan\alpha=\dfrac{y}{x} tan⁡α=yx\tan\alpha=\dfrac{y}{x}

  2. 定义域和符号

    三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
    sin⁡α\sin\alpha α∈R\alpha\in\R ++ ++ −- −-
    cos⁡α\cos\alpha α∈R\alpha\in\R ++ −- −- ++
    tan⁡α\tan\alpha {α∣α≠π2+kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\} ++ −- ++ −-

    记忆方法：ASTC（正二切三余四全一）

    象限 口诀 解释
    第一象限 A 第一象限三个函数全正（All）
    第二象限 S 第二象限 sin⁡\sin 为正
    第三象限 T 第三象限 tan⁡\tan 为正
    第四象限 C 第四象限 cos⁡\cos 为正

  3. 同角三角函数之间的关系（切化弦，弦化切）

    平方关系：sin⁡2x+cos2x=1\sin^2x+cos^2x=1

    商数关系：sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x

    例题：若 3sin⁡x+4cos⁡xcos⁡x+2sin⁡x=2\dfrac{3\sin x+4\cos x}{\cos x+2\sin x}=2，则 1−sin⁡xcos⁡x−cos⁡2x1-\sin x\cos x-\cos^2x 的值为？

    答案

    由题目得 2cos⁡x=sin⁡x2\cos x=\sin x

    即 tan⁡x=2\tan x=2

    原式 =sin⁡2x−sin⁡xcos⁡xsin⁡2x+cos⁡2x=tan⁡2x−tan⁡xtan⁡2x+1=25=\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}=\dfrac{\tan^2x-\tan x}{\tan^2x+1}=\dfrac{2}{5}

  4. 诱导公式

    sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan
    公式一 sin⁡(α+k⋅2π)=sin⁡α\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha cos⁡(α+k⋅2π)=cos⁡α\cos(\alpha+k\cdot2\pi)=\cos\alpha tan⁡(α+k⋅2π)=tan⁡α\tan(\alpha+k\cdot2\pi)=\tan\alpha
    公式二 sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha
    公式三 sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha cos⁡(−α)=−cos⁡α\cos(-\alpha)=-\cos\alpha tan⁡(−α)=tan⁡α\tan(-\alpha)=\tan\alpha
    公式四 sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha tan⁡(π−α)=−tan⁡α\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha
    公式五 sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha
    公式六 sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha

    口诀：奇变偶不变，符号看象限

    口诀 解释
    奇 π2\dfrac{\pi}{2} 的奇数倍
    偶 π2\dfrac{\pi}{2} 的偶数倍
    变 改变函数名
    符号看象限 把 α\alpha 当锐角，代入左边的式子，判断正负

    例题：sin⁡(3π−α)cos⁡(π2+α)cos⁡(2π−α)tan⁡(π−α)cos⁡(π+α)sin⁡(−α)sin⁡(3π2+α)tan⁡(−π−α)=\dfrac{\sin(3\pi-\alpha)\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(\pi-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)\sin(-\alpha)\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)\tan(-\pi-\alpha)}=

    答案

    原式 =sin⁡α⋅(−sin⁡α)⋅cos⁡α⋅(−tan⁡α)(−cos⁡α)⋅(−sin⁡α)⋅(−cos⁡α)⋅(−tan⁡α)=sin⁡αcos⁡α=tan⁡α=\dfrac{\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{(-\cos\alpha)\cdot(-\sin\alpha)\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tan\alpha)}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha

  5. 图像与性质

    y=sin⁡xy=\sin x y=cos⁡xy=\cos x y=tan⁡xy=\tan x
    图像
    定义域 x∈Rx\in\R x∈Rx\in\R {x∣x≠π2+kπ,k∈Z}\{x\vert x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\}
    值域 y∈[−1,1]y\in[-1,1] y∈[−1,1]y\in[-1,1] y∈Ry\in\R
    最值 当 x=−π2+2kπ,k∈Zx=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z 时 ymin⁡=−1y_{\min}=-1
    当 x=π2+2kπ,k∈Zx=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z 时ymax⁡=1y_{\max}=1    		 当 x=−π+2kπ,k∈Zx=-\pi+2k\pi,k\in\Z 时 ymin⁡=−1y_{\min}=-1
    当 x=2kπ,k∈Zx=2k\pi,k\in\Z 时ymax⁡=1y_{\max}=1
    周期性 周期：2kπ,k∈Z2k\pi,k\in\Z
    最小正周期：2π2\pi
    y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi)：Tmin⁡=2π∣ω∣T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert}    		 周期：2kπ,k∈Z2k\pi,k\in\Z
    最小正周期：2π2\pi
    y=Acos⁡(ωx+φ)y=A\cos(\omega x+\varphi)：Tmin⁡=2π∣ω∣T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert}    		 周期：kπ,k∈Zk\pi,k\in\Z
    最小正周期：π\pi
    y=Atan⁡(ωx+φ)y=A\tan(\omega x+\varphi)：Tmin⁡=π∣ω∣T_{\min}=\dfrac{\pi}{\vert\omega\vert}
    奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
    奇偶性 若 y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi) 是奇函数，则 φ=kπ,k∈Z\varphi=k\pi,k\in\Z
    若 y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi) 是偶函数，则 φ=π2+kπ,k∈Z\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z    		 若 y=Acos⁡(ωx+φ)y=A\cos(\omega x+\varphi) 是奇函数，则 φ=π2+kπ,k∈Z\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z
    若 y=Acos⁡(ωx+φ)y=A\cos(\omega x+\varphi) 是偶函数，则 φ=kπ,k∈Z\varphi=k\pi,k\in\Z
    单调性 递增区间：[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z
    递减区间：[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z    		 递增区间：[−π+2kπ,2kπ],k∈Z[-\pi+2k\pi,2k\pi],k\in\Z
    递减区间：[2kπ,π+2kπ],k∈Z[2k\pi,\pi+2k\pi],k\in\Z    		 递增区间：
    (−π2+2kπ,π2+2kπ),k∈Z(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi),k\in\Z
    对称性 对称轴：x=π2+kx,k∈Zx=\dfrac{\pi}{2}+kx,k\in\Z
    对称中心：(kπ,0),k∈Z(k\pi,0),k\in\Z    		 对称轴：x=kx,k∈Zx=kx,k\in\Z
    对称中心：(π2+kπ,0),k∈Z(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in\Z    		 无对称轴
    对称中心：(kπ2,0),k∈Z(\dfrac{k\pi}{2},0),k\in\Z

  6. 图像变换

    例：从 y=sin⁡xy=\sin x 到 y=Asin⁡(ωx+φ)+By=A\sin(\omega x+\varphi)+B

    从 到 操作
    y=sin⁡xy=\sin x y=Asin⁡xy=A\sin x 纵坐标伸长到原来的 AA 倍
    y=Asin⁡xy=A\sin x y=Asin⁡(ωx)y=A\sin(\omega x) 横坐标缩短到原来的 1ω\dfrac{1}{\omega} 倍
    y=Asin⁡(ωx)y=A\sin(\omega x) y=Asin⁡(ω(x+φ))y=A\sin(\omega (x+\varphi)) 向左平移 φ\varphi 个单位（左加右减）
    y=Asin⁡(ω(x+φ))y=A\sin(\omega (x+\varphi)) y=Asin⁡(ω(x+φ))+By=A\sin(\omega (x+\varphi))+B 向上平移 BB 个单位（上加下减）

    cos⁡\cos 和 tan⁡\tan 同理

    例题：为了得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3}) 的图像，只需把函数 y=cos⁡(2x−π3)y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3}) 的图像（ ）

    A. 向左平移 π4\dfrac{\pi}{4} 个单位 B. 向右平移 π4\dfrac{\pi}{4} 个单位

    C. 向左平移 π2\dfrac{\pi}{2} 个单位 D. 向右平移 π2\dfrac{\pi}{2} 个单位

    答案

    统一函数名：y=cos⁡(2x−π3)=sin⁡(2x−π6)y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})=\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})

    由 sin⁡(2x−π6)\sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) 到 sin⁡(2x−π3)\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})：向右平移 π4\dfrac{\pi}{4} 个单位

    故选B

3. 三角函数公式

  1. 和差角公式

    sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

    sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

    cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

    cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

    tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

    tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

  2. 二倍角公式（升幂缩角）

    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

    cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha

    tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

  3. 降幂公式

    sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha

    cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}

    sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}

    tan⁡2α=1−cos⁡2α1+cos⁡2α\tan^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}

  4. 辅助角公式

    asin⁡α+bcos⁡α=a2+b2sin(α+φ)a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\varphi)

    其中 cos⁡φ=aa2+b2\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}，sin⁡φ=ba2+b2\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

  5. 常见的三角不等式

    若 x∈(0,π2)x\in(0,\dfrac{\pi}{2})，则 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x<x<\tan x

    若 x∈(0,π2)x\in(0,\dfrac{\pi}{2})，则 1<sin⁡x+cos⁡x<21<\sin x+\cos x<\sqrt2

  6. 积化和差公式

    sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

    cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

    sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]

  7. 和差化积公式

    sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

    sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

    cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

    cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

    口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，两条余；余减余，余不见，符号很讨厌