第三课 集合
1. 集合的概念
概念
指定的某些对象的全体（研究对象是元素）
特性
确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系
属于（$\in$）
不属于（$\notin$）
集合的分类
有限集，无限集，空集（）
常见数集
$\R$ 实数集
$\mathbb Q$ 有理数集
$\Z$ 整数集
$\N$ 自然数集
$\Complex$ 复数集
$\N^*=\N_+$ 正整数集
$\R^+$ 正实数集
集合的表示方法
列举法
$A={1,2,3}$
描述法
$A={x|y=x^2-x+1}=\R$
$B={y|y=x^2-x+1}=[\dfrac{3}{4},+\infty)$
$C={(x,y)|y=x^2-x+1}=$ 点集
2. 集合间的关系
子集
若对于 $\forall x\in A$，都有 $x\in B$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$
真子集
若 $A \subseteq B$，但 $\exists\ x\in B$，且 $x\notin A$，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记为 $A\subsetneqq B$
空集
不含任意元素的集合是空集，记为 $\varnothing$
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
$\varnothing\in{\varnothing}$ ：$\varnothing$ 为元素
$\varnothing\subseteq{\varnothing}$：$\varnothing$ 为集合
$\varnothing\subsetneqq{\varnothing}$：$\varnothing$ 为集合，空集是任何非空集合的真子集
子集个数问题
若一个集合有 $n$ 个元素，则子集有 $2^n$ 个，真子集有 $2^n-1$ 个，非空子集有 $2^n-1$ 个，非空真子集有 $2^n-2$ 个
例题：以下正确的个数是？
$\varnothing=0$，$\varnothing={0}$，$\varnothing={\varnothing}$，$0\in\varnothing$，$\varnothing\in{\varnothing}$，$\varnothing\subseteq{0}$，$\varnothing\subsetneqq{\varnothing}$
只有后三个是对的
3. 集合的运算
交集
$A\cap B={x|x\in A,\text{and}\ x\in B}$
并集
$A\cup B={a|x\in A,\text{or}\ x\notin A}$
补集
$\complement_\R A={x|x\in\R,\text{and}\ x\notin A}$
性质（摩根公式）：
$\complement_\R(A\cap B)=(\complement_\R A)\cup(\complement_\R B)$
$\complement_\R(A\cup B)=(\complement_\R A)\cap(\complement_\R B)$
（可以画 Venn 图分析）
4. 充分条件与必要条件
定义
“若 $p$，则 $q$”为真命题，记 $p\Rightarrow q$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件
“若 $p$，则 $q$”为假命题，记 $p\nRightarrow q$，则称 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件
“若 $p$，则 $q$”与它的逆命题“若 $Q$，则 $p$”均为真命题，记 $p\Leftrightarrow q$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，$q$ 是 $p$ 的充分必要条件（简称充要条件）
5. 全称量词与存在量词
定义
全称量词（$\forall$）：对每个元素都成立
存在量词（$\exists$）：对至少等于一个元素成立
否定
全称量词命题的否定：$\forall x\in M,p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\lnot p(x)$
存在量词命题的否定：$\exists x\in M,p(x)$ 的否定是 $\forall x\in M,\lnot p(x)$