第三课集合

1. 集合的概念

概念

指定的某些对象的全体（研究对象是元素）
特性

确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系

属于（ $\in$ ）

不属于（ $\notin$ ）
集合的分类

有限集，无限集，空集（）
常见数集

$\R$ 实数集

$\mathbb Q$ 有理数集

$\Z$ 整数集

$\N$ 自然数集

$\Complex$ 复数集

$\N^*=\N_+$ 正整数集

$\R^+$ 正实数集
集合的表示方法
- 列举法
  
  $A=\{1,2,3\}$
- 描述法
  
  $A=\{x|y=x^2-x+1\}=\R$
  
  $B=\{y|y=x^2-x+1\}=[\dfrac{3}{4},+\infty)$
  
  $C=\{(x,y)|y=x^2-x+1\}=$ 点集

2. 集合间的关系

子集

若对于 $\forall x\in A$ ，都有 $x\in B$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$
真子集

若 $A \subseteq B$ ，但 $\exists\ x\in B$ ，且 $x\notin A$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记为 $A\subsetneqq B$
空集

不含任意元素的集合是空集，记为 $\varnothing$

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

$\varnothing\in\{\varnothing\}$ ： $\varnothing$ 为元素

$\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$ ： $\varnothing$ 为集合

$\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}$ ： $\varnothing$ 为集合，空集是任何非空集合的真子集
子集个数问题

若一个集合有 $n$ 个元素，则子集有 $2^n$ 个，真子集有 $2^n-1$ 个，非空子集有 $2^n-1$ 个，非空真子集有 $2^n-2$ 个

例题：以下正确的个数是？

$\varnothing=0$ ， $\varnothing={0}$ ， $\varnothing=\{\varnothing\}$ ， $0\in\varnothing$ ， $\varnothing\in\{\varnothing\}$ ， $\varnothing\subseteq\{0\}$ ， $\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}$

只有后三个是对的

3. 集合的运算

交集

$A\cap B=\{x|x\in A,\text{and}\ x\in B\}$
并集

$A\cup B=\{a|x\in A,\text{or}\ x\notin A\}$
补集

$\complement_\R A=\{x|x\in\R,\text{and}\ x\notin A\}$

性质（摩根公式）：

$\complement_\R(A\cap B)=(\complement_\R A)\cup(\complement_\R B)$

$\complement_\R(A\cup B)=(\complement_\R A)\cap(\complement_\R B)$

（可以画 Venn 图分析）

4. 充分条件与必要条件

定义

“若 $p$ ，则 $q$ ”为真命题，记 $p\Rightarrow q$ ，则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件， $q$ 是 $p$ 的必要条件

“若 $p$ ，则 $q$ ”为假命题，记 $p\nRightarrow q$ ，则称 $p$ 不是 $q$ 的充分条件， $q$ 不是 $p$ 的必要条件

“若 $p$ ，则 $q$ ”与它的逆命题“若 $Q$ ，则 $p$ ”均为真命题，记 $p\Leftrightarrow q$ ，则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件， $q$ 是 $p$ 的充分必要条件（简称充要条件）

5. 全称量词与存在量词

定义

全称量词（ $\forall$ ）：对每个元素都成立

存在量词（ $\exists$ ）：对至少等于一个元素成立
否定

全称量词命题的否定： $\forall x\in M,p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\lnot p(x)$

存在量词命题的否定： $\exists x\in M,p(x)$ 的否定是 $\forall x\in M,\lnot p(x)$

第三课 集合

1. 集合的概念

2. 集合间的关系

3. 集合的运算

4. 充分条件与必要条件

5. 全称量词与存在量词

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