第二课函数的基本性质

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1. 单调性

定义

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，区间 $D\subseteq I$ ：

如果 $\forall x_1,x_2 \in D$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增。当 $f(x)$ 在它的定义域上单调递增时，称它为增函数。

如果 $\forall x_1,x_2 \in D$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$ ，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。当 $f(x)$ 在它的定义域上单调递增时，称它为减函数。
要点
- $\forall x_1,x_2 \in D$ 中的 $\forall$ 不能改。
- 单调区间书写时，不能用 $\cup$ ，要写“ $,$ ”或“和”。
- 不连续区间不是单调的。（例： $y=-\dfrac{1}{x}$ ）
- 有关单调性，注意定义域。
利用定义判断单调性

例题：判断 $f(x)=\dfrac{3^x-1}{3^x+1}$ 在 $\R$ 上的单调性并证明。

$\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2$

$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\dfrac{3^{x_1}-1}{3^{x_1}+1}-\dfrac{3^{x_2}-1}{3^{x_2}+1}\\&=\dfrac{2(3^{x_1}-3^{x_2})}{(3^{x_1}+1)(3^{x_2}+1)}\end{aligned}$

$x_1<x_2\Rightarrow3^{x_1}<3^{x_2}\Rightarrow3^{x_1}-3^{x_2}<0,3^{x_1}+1>0,3^{x_2}+1>0$

$\therefore f(x_1)<f(x_2)$

$\therefore f(x)$ 在 $\R$ 上单调递增
利用单调性解不等式

单调性，函数值关系，自变量关系可以知二推二。

例题：已知 $f(x)$ 的定义域为 $\R$ ，对任意的 $x_1<x_2$ ，都有 $f(x_1)-f(x_2)>2x_1-2x_2$ ， $f(4)=4$ ，则 $f(x-1)>2x-6$ 的解集为（）

变形： $f(x_1)-2x_1>f(x_2)-2x_2$

构造： $g(x)=f(x)-2x$ ， $g(4)=f(4)-8=-4$

可得 $g(x)$ 在 $\R$ 上单调递减

$f(x-1)>2x-6$

$f(x-1)-2(x-1)>-4$

$g(x-1)>g(4)$

$x-1>4$

$x\in(-\infty,5)$
复合函数单调性

$y=f(t)$ $t=g(x)$ $y=f(g(x))$

增增增

增减减

减增减

减减增

口诀：同增异减

例题：求 $f(x)=\dfrac{1}{8-2x-x^2}$ 的单调区间。

复合函数： $y=\dfrac{1}{t}$ （外） $t=8-2x-x^2$ （内）

定义域： $x\in(-\infty,-4)\cup(-4,2)\cup(2,+\infty)$

画内函数图象：开口向下，对称轴 $x=-1$

递减区间： $(-1,2),(2,+\infty)$

递增区间： $(-\infty,4),(-4,-1]$
单调性运算

增 $+$ 增 $=$ 增

减 $+$ 减 $=$ 减

$-$ 增 $=$ 减

$-$ 减 $=$ 增

减 $-$ 增 $=$ 减

增 $-$ 减 $=$ 增
分段函数单调性

注意区间端点处函数值大小比较！
抽象函数单调性

根据已知条件分解并代入
例题：已知定义在 $\R$ 上的函数 $y=f(x)$ 满足：对于 $\forall x,y\in\R$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，当 $x<0$ 时 $f(x)>0$ ，且 $f(1)=-3$ 。
1. 判断单调性
2. 解不等式 $f(2x-2)-f(x)\geq-12$
1. 判断单调性
  
  $\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2$ ，当 $x<0$ 时， $f(x)<0\Rightarrow x_1-x_2<0,f(x_1-x_2)>0$
  
  $\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)\\&=f(x_1-x_2)+f(x_2)-f(x_2)\\&=f(x_1-x_2)>0\end{aligned}$
  
  $\therefore f(x_1)>f(x_2)$
  
  $\therefore f(x)$ 在 $\R$ 上单调递减
2. 解不等式 $f(2x-2)-f(x)\geq-12$
  
  $f(2x-2)-f(x)\geq f(4)$
  
  $f(2x-2)\geq f(x)+f(4)$
  
  $f(2x-2)\geq f(x+4)$
  
  又 $f(x)$ 在 $\R$ 单调递减
  
  $\therefore 2x-2\leq x+4$
  
  $\therefore x\leq 6$

$y=f(t)$	$t=g(x)$	$y=f(g(x))$
增	增	增
增	减	减
减	增	减
减	减	增

2. 奇偶性

定义

一般的，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，如果 $\forall x\in I$ ，都有 $-x\in I$ ，且 $f(-x)=f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数。

一般的，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，如果 $\forall x\in I$ ，都有 $-x\in I$ ，且 $f(-x)=-f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数。

既不是寄函数也不是偶函数的函数一般称作非奇非偶函数。
判断函数的奇偶性
- 先判断定义域是否关于原点对称，若不是，为非奇非偶函数。
- 再判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系：
  
  若 $f(-x)=f(x)$ ，则为偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。
  
  若 $f(-x)=-f(x)$ ，则为奇函数，其图像关于原点对称。
  
  常见： $f(-x)+f(x)=0$ 奇函数。
- $f(x)=0,x\in\R$ 是唯一的既奇又偶函数
例题1：下列判断正确的是？

A. $f(x)=0$ 既是奇函数又是偶函数

B. $f(x)=x\sqrt{x^2-1}$ 是非奇非偶函数

C. $f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 是偶函数

D. $f(x)=\dfrac{1}{2^x-1}+\dfrac{1}{2}$ 是奇函数

A. $f(x)=0$ 是唯一的既奇又偶函数

B. $f(x)=x\sqrt{x^2-1}$ 是奇函数，原因： $x\in(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$ 且 $f(-x)=-x\cdot\sqrt{x^2-1}=-f(x)$

C. $f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 是非奇非偶函数 $\dfrac{1-x}{1+x}\geq0$ ，原因： $x\in(-1,1]$ ，不对称

D. 正确，定义域： $x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ ，计算可得 $f(x)+f(-x)=0$

例题2：判断 $f(x)-f(-x)$ 的奇偶性

令 $g(x)=f(x)-f(-x)$ 进行判断，结果是奇函数
奇偶性的运算

奇 $+$ 奇 $=$ 奇

偶 $+$ 偶 $=$ 偶

奇 $\times$ 奇 $=$ 奇

偶 $\times$ 偶 $=$ 偶

奇 $\times$ 偶 $=$ 奇
复合函数奇偶性

$y=f(t)$ $t=g(x)$ $y=f(g(x))$

奇奇奇

奇偶偶

偶奇偶

偶偶偶

口诀：有偶就是偶
抽象函数奇偶性

赋值法，已知奇偶性时解方程求解析式

例题1： $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，判断奇偶性

令 $y=-x$ ， $f(0)=f(x)+f(-x)$

令 $x=y=0$ ， $f(0)=2f(0)$ ， $f(0)=0$

所以 $f(x)+f(-x)=0$ ，奇函数

例题2：对于非零的 $x$ ， $f(xy)=f(x)+f(y)$ ，判断奇偶性

$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

令 $y=-1$ ， $f(-x)=f(x)+f(-1)$

令 $x=y=-1$ ， $f(1)=2f(-1)$

令 $x=y=1$ ， $f(1)=2f(1)$ ， $f(1)=0$

于是 $f(-1)=0$ ， $f(-x)=f(x)$

偶函数
分段函数奇偶性

利用奇偶函数的定义代入求解，注意 $x=0$ 情况

$y=f(t)$	$t=g(x)$	$y=f(g(x))$
奇	奇	奇
奇	偶	偶
偶	奇	偶
偶	偶	偶

3. 周期性

定义

对于函数 $f(x)$ ，如果存在一个非零常数 $T$ ，使得当 $x$ 取定义域内的每一个值时，都有 $f(x+T)=f(x)$ ，那么就称 $f(x)$ 为周期函数，非零常数 $T$ ，就是这个函数的周期。

最小正周期：如果周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就是 $f(x)$ 的最小正周期，若不说明， $T$ 一般指最小正周期。（常数函数没有最小正周期）
常用结论

若 $f(x+a)=f(x-a)$ ，则周期 $T=2a$

若 $f(x+a)=-f(x)$ ，则周期 $T=2a$

若 $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$ ，则周期 $T=2a$

若 $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ ，则周期 $T=2a$
利用周期性求值或解析式

通过周期性把较远或未知的函数转换为较近或已知的

例题： $f(x)$ 是定义在 $\R$ 上的奇函数，且 $f(x+8)=f(x)$ ，当 $x\in[-2,0)$ 时， $f(x)=x^2-2x-1$ ，则 $f(242)=$ ？

利用周期性： $f(242)=f(2)$

利用奇偶性： $f(2)=f(-2)=-7$

4. 对称性

常用结论

$f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow$ 关于 $x=a$ 对称

$f(a+x)+f(a-x)=0\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称（自变量和为 $2a$ 即可）

$f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow$ 关于 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称

$f(a+x)+f(a-x)=2b\Rightarrow$ 关于 $(a,b)$ 对称，即 $f(x+a)-b$ 为奇函数

$f(x+a)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=a$ 对称

$f(x+a)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称

$f(ax+b)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=b$ 对称

$f(ax+b)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(b,0)$ 对称

5. 周期性与对称性

常用结论

$f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $x=b$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b|$

$f(x)$ 关于 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b|$

$f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=4|a-b|$