第二课 函数的基本性质
1. 单调性
定义
一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D\subseteq I$：
如果 $\forall x_1,x_2 \in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增。当 $f(x)$ 在它的定义域上单调递增时，称它为增函数。
如果 $\forall x_1,x_2 \in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。当 $f(x)$ 在它的定义域上单调递增时，称它为减函数。
要点
$\forall x_1,x_2 \in D$ 中的 $\forall$ 不能改。
单调区间书写时，不能用 $\cup$，要写“$,$”或“和”。
不连续区间不是单调的。（例：$y=-\dfrac{1}{x}$）
有关单调性，注意定义域。
利用定义判断单调性
例题：判断 $f(x)=\dfrac{3^x-1}{3^x+1}$ 在 $\R$ 上的单调性并证明。
$\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2$
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\dfrac{3^{x_1}-1}{3^{x_1}+1}-\dfrac{3^{x_2}-1}{3^{x_2}+1}\&=\dfrac{2(3^{x_1}-3^{x_2})}{(3^{x_1}+1)(3^{x_2}+1)}\end{aligned}$
$x_1<x_2\Rightarrow3^{x_1}<3^{x_2}\Rightarrow3^{x_1}-3^{x_2}<0,3^{x_1}+1>0,3^{x_2}+1>0$
$\therefore f(x_1)<f(x_2)$
$\therefore f(x)$ 在 $\R$ 上单调递增
利用单调性解不等式
单调性，函数值关系，自变量关系可以知二推二。
例题：已知 $f(x)$ 的定义域为 $\R$，对任意的 $x_1<x_2$，都有 $f(x_1)-f(x_2)>2x_1-2x_2$，$f(4)=4$，则 $f(x-1)>2x-6$ 的解集为（ ）
变形：$f(x_1)-2x_1>f(x_2)-2x_2$
构造：$g(x)=f(x)-2x$，$g(4)=f(4)-8=-4$
可得 $g(x)$ 在 $\R$ 上单调递减
$f(x-1)>2x-6$
$f(x-1)-2(x-1)>-4$
$g(x-1)>g(4)$
$x-1>4$
$x\in(-\infty,5)$
复合函数单调性
$y=f(t)$ $t=g(x)$ $y=f(g(x))$ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 口诀：同增异减
例题：求 $f(x)=\dfrac{1}{8-2x-x^2}$ 的单调区间。
复合函数：$y=\dfrac{1}{t}$（外）$t=8-2x-x^2$（内）
定义域：$x\in(-\infty,-4)\cup(-4,2)\cup(2,+\infty)$
画内函数图象：开口向下，对称轴 $x=-1$
递减区间：$(-1,2),(2,+\infty)$
递增区间：$(-\infty,4),(-4,-1]$
单调性运算
增 $+$ 增 $=$ 增
减 $+$ 减 $=$ 减
$-$ 增 $=$ 减
$-$ 减 $=$ 增
减 $-$ 增 $=$ 减
增 $-$ 减 $=$ 增
分段函数单调性
注意区间端点处函数值大小比较！
抽象函数单调性
根据已知条件分解并代入
例题：已知定义在 $\R$ 上的函数 $y=f(x)$ 满足：对于 $\forall x,y\in\R$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，当 $x<0$ 时 $f(x)>0$，且 $f(1)=-3$。
判断单调性
解不等式 $f(2x-2)-f(x)\geq-12$
判断单调性
$\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2$，当 $x<0$ 时，$f(x)<0\Rightarrow x_1-x_2<0,f(x_1-x_2)>0$
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)\&=f(x_1-x_2)+f(x_2)-f(x_2)\&=f(x_1-x_2)>0\end{aligned}$
$\therefore f(x_1)>f(x_2)$
$\therefore f(x)$ 在 $\R$ 上单调递减
解不等式 $f(2x-2)-f(x)\geq-12$
$f(2x-2)-f(x)\geq f(4)$
$f(2x-2)\geq f(x)+f(4)$
$f(2x-2)\geq f(x+4)$
又 $f(x)$ 在 $\R$ 单调递减
$\therefore 2x-2\leq x+4$
$\therefore x\leq 6$
2. 奇偶性
定义
一般的，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果 $\forall x\in I$，都有 $-x\in I$，且 $f(-x)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数。
一般的，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果 $\forall x\in I$，都有 $-x\in I$，且 $f(-x)=-f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数。
既不是寄函数也不是偶函数的函数一般称作非奇非偶函数。
判断函数的奇偶性
先判断定义域是否关于原点对称，若不是，为非奇非偶函数。
再判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系：
若 $f(-x)=f(x)$，则为偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。
若 $f(-x)=-f(x)$，则为奇函数，其图像关于原点对称。
常见：$f(-x)+f(x)=0$ 奇函数。
$f(x)=0,x\in\R$ 是唯一的既奇又偶函数
例题1：下列判断正确的是？
A. $f(x)=0$ 既是奇函数又是偶函数
B. $f(x)=x\sqrt{x^2-1}$ 是非奇非偶函数
C. $f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 是偶函数
D. $f(x)=\dfrac{1}{2^x-1}+\dfrac{1}{2}$ 是奇函数
A. $f(x)=0$ 是唯一的既奇又偶函数
B. $f(x)=x\sqrt{x^2-1}$ 是奇函数，原因：$x\in(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$ 且 $f(-x)=-x\cdot\sqrt{x^2-1}=-f(x)$
C. $f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 是非奇非偶函数 $\dfrac{1-x}{1+x}\geq0$，原因：$x\in(-1,1]$，不对称
D. 正确，定义域：$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，计算可得 $f(x)+f(-x)=0$
例题2：判断 $f(x)-f(-x)$ 的奇偶性
令 $g(x)=f(x)-f(-x)$ 进行判断，结果是奇函数
奇偶性的运算
奇 $+$ 奇 $=$ 奇
偶 $+$ 偶 $=$ 偶
奇 $\times$ 奇 $=$ 奇
偶 $\times$ 偶 $=$ 偶
奇 $\times$ 偶 $=$ 奇
复合函数奇偶性
$y=f(t)$ $t=g(x)$ $y=f(g(x))$ 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 偶 偶 偶 口诀：有偶就是偶
抽象函数奇偶性
赋值法，已知奇偶性时解方程求解析式
例题1：$f(x+y)=f(x)+f(y)$，判断奇偶性
令 $y=-x$，$f(0)=f(x)+f(-x)$
令 $x=y=0$ ，$f(0)=2f(0)$，$f(0)=0$
所以 $f(x)+f(-x)=0$，奇函数
例题2：对于非零的 $x$，$f(xy)=f(x)+f(y)$，判断奇偶性
$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
令 $y=-1$，$f(-x)=f(x)+f(-1)$
令 $x=y=-1$，$f(1)=2f(-1)$
令 $x=y=1$，$f(1)=2f(1)$，$f(1)=0$
于是 $f(-1)=0$，$f(-x)=f(x)$
偶函数
分段函数奇偶性
利用奇偶函数的定义代入求解，注意 $x=0$ 情况
3. 周期性
定义
对于函数 $f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的每一个值时，都有 $f(x+T)=f(x)$，那么就称 $f(x)$ 为周期函数，非零常数 $T$，就是这个函数的周期。
最小正周期：如果周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就是 $f(x)$ 的最小正周期，若不说明，$T$ 一般指最小正周期。（常数函数没有最小正周期）
常用结论
若 $f(x+a)=f(x-a)$，则周期 $T=2a$
若 $f(x+a)=-f(x)$，则周期 $T=2a$
若 $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$，则周期 $T=2a$
若 $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$，则周期 $T=2a$
利用周期性求值或解析式
通过周期性把较远或未知的函数转换为较近或已知的
例题：$f(x)$ 是定义在 $\R$ 上的奇函数，且 $f(x+8)=f(x)$，当 $x\in[-2,0)$ 时，$f(x)=x^2-2x-1$，则 $f(242)=$ ？
利用周期性：$f(242)=f(2)$
利用奇偶性：$f(2)=f(-2)=-7$
4. 对称性
常用结论
$f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow$ 关于 $x=a$ 对称
$f(a+x)+f(a-x)=0\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称（自变量和为 $2a$ 即可）
$f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow$ 关于 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称
$f(a+x)+f(a-x)=2b\Rightarrow$ 关于 $(a,b)$ 对称，即 $f(x+a)-b$ 为奇函数
$f(x+a)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=a$ 对称
$f(x+a)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称
$f(ax+b)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=b$ 对称
$f(ax+b)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(b,0)$ 对称
5. 周期性与对称性
常用结论
$f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $x=b$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b|$
$f(x)$ 关于 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b|$
$f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=4|a-b|$