高中数学笔记-1-函数的概念及其表示

第一课 函数的概念及其表示

[返回目录][洛谷专栏链接]

---

1. 函数的概念

一般的，设 $A,B$ 是非空的实数集（$\R$），如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作

$$y=f(x),x\in A$$

其中，$x$叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域；与 $x$ 值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)|x\in A\}$ 叫做函数的值域。

函数的三要素（两域一关系）：定义域、值域、对应关系（对应法则）

映射（教材已删去）：与函数类似，但映射研究任意非空集合，函数是特殊是映射。

例题：存在函数 $f(x)$ 满足，对任意 $x\in \R$ 都有（）？

A. $f(\dfrac{1}{x^2+1})=x$，B. C. D.$f(x^2+2x)=|x+1|$

---

根据函数的概念解题

A. 当 $x=1$ 和 $x=-1$ 时，函数值相同，不符合。

B. C. 同理，略去

D. 令 $x^2+2x=t,t\geq-1$，解出 $f(t)=|\sqrt{t+1}|,x\geq-1$，即 $f(x)=|\sqrt{x+1}|,x\geq-1$，满足。

注意：换元法，新元范围要写上

2. 求函数的定义域

• 定义域、值域的书写：区间

  闭区间 $\{x|a\le x\le b\}:[a,b]$

  开区间 $\{x|a<x<b\}:(a,b)$

  左闭右开区间 $\{x|a\le x< b\}:[a,b)$

  左开右闭区间 $\{x|a< x\le b\}:(a,b]$

  $\{x|x\geq2\}:[2,+\infty)$

  $\{x|x<1\}:(-\infty,1)$

  $\{x|x<1或x>=2\}:(-\infty,1)\cup[2,+\infty)$

  注意：无穷大取不到，要写开区间。

• 判断函数相同

  值域由定义域、对应关系决定，所以只要定义域、对应关系相同即为同一个函数。

• 具体函数定义域

  平方根里为负数，分母为 $0$，$0^0$。

  以上情况要在定义域里排除，根据条件列不等式求解。

  分式：$\dfrac{f(x)}{g(x)}\geq0 \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geq0 且 g(x) \neq 0$

• 抽象函数（复合函数）定义域

  列不等式限制，注意定义域始终是 $x$ （或其他字母）的范围。

  例题：若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$，求函数 $g(x)=\dfrac{f(x^2)}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域。

  ---

  注意：定义域 $[0,1]$ 是 $x$ 的范围。

  $f(x+1)$ 中 $0\le x \le 1$，所以 $f(x)$ 的定义域为 $[1,2]$，代入 $g(x)$ 求定义域即可。

  答案：$(1,\sqrt{2}]$

• 求参数范围

  转换为恒成立问题，利用判别式、图像求解。

  例题：已知函数 $f(x)=\sqrt{mx^2-6mx+m+8}$ 的定义域为 $\R$，求 $m$ 的范围。

  ---

  转化：$mx^2-6mx+m+8\geq0$ 在 $x\in\R$ 上恒成立。

  当 $m=0$ 时，$8\geq0$，满足。

  当 $m\neq0$ 时，$m>0且\Delta\le0$（根据图像判断），解得 $0\le m\le 1$。

  综上所述，$m\in [0,1]$

3. 求函数的值域

1. 配方法

   例题：$y=\sqrt{7+6x-x^2}$

   ---

   $y=\sqrt{-(x-3)^2}+16$

   $y\in [0,4]$

2. 换元法

   例题：$y=-2x+\sqrt{x+3}$

   ---

   令 $\sqrt{x+3}=t,y\geq0$

   $x=t^2-3$

   $y=-2t^2+t+6,t\geq0$

   配方法

   $y=-2(t-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{49}{8},t\geq0$

   $y\in (-\infty,\dfrac{49}{8})$

3. 分离常数法（一次比一次）

   例题：$y=\dfrac{x+1}{x+2}$

   ---

   $y=\dfrac{x+2-1}{x+2}=1-\dfrac{1}{x+2}\neq1$

   $y\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

4. 分离常数法+范围限定

   例题：$y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0)$

   ---

   $y=1-\dfrac{1}{x+2}\ ,x>0$

   $x+2>2$

   $0<\dfrac{1}{x+2}<\dfrac{1}{2}$

   $\cdots$

   $\dfrac{1}{2}<1-\dfrac{1}{x+1}<1$

   $y\in (-\dfrac{1}{2},1)$

   也可用 $y$ 表示 $x$ 求解（反表示法）

5. 图像法之一次比一次

   例题：$y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0)$

   ---

   双曲线画图象，先找渐近线：$x=-2,y=1$（极限思想很方便）

   再代入一个点（确定位置），比如 $(-1,0)$。

   

   然后在图像上截取，得到 $y\in (-\dfrac{1}{2},1)$

6. 方程思想（主元法，二次比二次）

   例题：$y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1}$

   ---

   方程思想

   $yx^2-yx+y=2x^2-3x+3$

   以 $x$ 为主元

   $(y-2)x^2-(y-3)x+y-3=0$

   1. 当 $y-2=0$ 即 $y=2$ 时，$x=1$

   2. 当 $y\neq2$ 时，要使得关于 $x$ 的一元二次方程有解

      $\Delta=(y-3)^2-4(y-2)(y-3)\geq0$

      解得 $\dfrac{5}{3}\le y\le3$

      此时 $\dfrac{5}{3}\le y\le3$ 且 $y\neq2$

   综上所述 $y\in[\dfrac{5}{3},3]$

7. 图像法之对勾函数、飘带函数（基本不等式也可）

   对勾函数：

   $f(x)=x+\dfrac{k}{x}\ ,k>0$

   渐近线 $x=0,y=x$

   极值点：$(\sqrt{k},2\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-2\sqrt{k})$

   $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ ,ab>0$

   渐近线 $x=0,y=ax$

   极值点：$(\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}),(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab})$

   

   飘带函数：

   $f(x)=x-\dfrac{k}{x}$

   渐近线 $x=0,y=x$

   

   例题：$y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1}\ (1<x<3)$

   ---

   分离常数法

   $y=2-\dfrac{x-1}{x^2-x+1}\ ,1<x<3$

   换元法

   令 $x-1=t,0<t<2$

   $y=2-\dfrac{t}{t^2+t+1}$

   $y=2-\cfrac{1}{t+\cfrac{1}{t}+1}$

   利用对勾 $t+\dfrac{1}{t}\geq2$

   一步步限制得到答案：$y\in[\dfrac{5}{3},2]$

8. 图像法之含参问题
   画出图像，分段进行分类讨论。

4. 求函数解析式

1. 换元法（注上新元范围）（推荐）

   例题：已知 $f(x-3)=x^2+2x+1$，求函数 $f(x)$ 的解析式。

   ---

   令 $x-3=t$，即 $x=t+3$

   $f(t)=(t+3)^2+2(t+3)+1=t^2+8t+16$

   $f(x)=x^2+8x+16$

2. 配凑法

3. 赋值法

   例题：已知 $f(x-3)=x^2+2x+1$，求函数 $f(x)$ 的解析式。

   ---

   令 $x$ 为 $x+3$

   $f(x)=(x+3)^2+2(x+3)+1=x^2+8x+16$

4. 已知类型的复合函数

   例题：已知一次函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=4x-1$，求 $f(x)$ 的解析式。

   ---

   令 $f(x)=kx+b,k\neq0$

   $k(kx+b)+b=4x-1$

   $k^2x+kb+b=4x-1$

   $k^2=4,kb+b=-1$

   解得 $k=2,b=\dfrac{1}{3}$ 或 $k=-2,b=1$

   即 $f(x)=2x-\dfrac{1}{3}$ 或 $f(x)=-2x+1$

5. 消元法（解方程）

   注：有时列一个方程不够，可以列多个。

   例题：已知 $2f(x)+f(\dfrac{1}{x})=x+1$ ，求 $f(x)$ 的解析式。

   ---

   令 $x$ 为 $\dfrac{1}{x}$，得 $2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{1}{x}+1$

   与已知条件联立，得到 $f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3}$