第一课函数的概念及其表示

1. 函数的概念

一般的，设 $A,B$ 是非空的实数集（ $\R$ ），如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ ，按照某种确定的对应关系 $f$ ，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作

y=f(x),x\in A

其中， $x$ 叫做自变量， $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域；与 $x$ 值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)|x\in A\}$ 叫做函数的值域。

函数的三要素（两域一关系）：定义域、值域、对应关系（对应法则）

映射（教材已删去）：与函数类似，但映射研究任意非空集合，函数是特殊是映射。

例题：存在函数 $f(x)$ 满足，对任意 $x\in \R$ 都有（）？

A. $f(\dfrac{1}{x^2+1})=x$ ，B. C. D. $f(x^2+2x)=|x+1|$

根据函数的概念解题

A. 当 $x=1$ 和 $x=-1$ 时，函数值相同，不符合。

B. C. 同理，略去

D. 令 $x^2+2x=t,t\geq-1$ ，解出 $f(t)=|\sqrt{t+1}|,x\geq-1$ ，即 $f(x)=|\sqrt{x+1}|,x\geq-1$ ，满足。

注意：换元法，新元范围要写上

2. 求函数的定义域

定义域、值域的书写：区间

闭区间 $\{x|a\le x\le b\}:[a,b]$

开区间 $\{x|a<x<b\}:(a,b)$

左闭右开区间 $\{x|a\le x< b\}:[a,b)$

左开右闭区间 $\{x|a< x\le b\}:(a,b]$

$\{x|x\geq2\}:[2,+\infty)$

$\{x|x<1\}:(-\infty,1)$

$\{x|x<1或x>=2\}:(-\infty,1)\cup[2,+\infty)$

注意：无穷大取不到，要写开区间。
判断函数相同

值域由定义域、对应关系决定，所以只要定义域、对应关系相同即为同一个函数。
具体函数定义域

平方根里为负数，分母为 $0$ ， $0^0$ 。

以上情况要在定义域里排除，根据条件列不等式求解。

分式： $\dfrac{f(x)}{g(x)}\geq0 \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geq0 且 g(x) \neq 0$
抽象函数（复合函数）定义域

列不等式限制，注意定义域始终是 $x$ （或其他字母）的范围。

例题：若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，求函数 $g(x)=\dfrac{f(x^2)}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域。

注意：定义域 $[0,1]$ 是 $x$ 的范围。

$f(x+1)$ 中 $0\le x \le 1$ ，所以 $f(x)$ 的定义域为 $[1,2]$ ，代入 $g(x)$ 求定义域即可。

答案： $(1,\sqrt{2}]$
求参数范围

转换为恒成立问题，利用判别式、图像求解。

例题：已知函数 $f(x)=\sqrt{mx^2-6mx+m+8}$ 的定义域为 $\R$ ，求 $m$ 的范围。

转化： $mx^2-6mx+m+8\geq0$ 在 $x\in\R$ 上恒成立。

当 $m=0$ 时， $8\geq0$ ，满足。

当 $m\neq0$ 时， $m>0且\Delta\le0$ （根据图像判断），解得 $0\le m\le 1$ 。

综上所述， $m\in [0,1]$

3. 求函数的值域

配方法

例题： $y=\sqrt{7+6x-x^2}$

$y=\sqrt{-(x-3)^2}+16$

$y\in [0,4]$
换元法

例题： $y=-2x+\sqrt{x+3}$

令 $\sqrt{x+3}=t,y\geq0$

$x=t^2-3$

$y=-2t^2+t+6,t\geq0$

配方法

$y=-2(t-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{49}{8},t\geq0$

$y\in (-\infty,\dfrac{49}{8})$
分离常数法（一次比一次）

例题： $y=\dfrac{x+1}{x+2}$

$y=\dfrac{x+2-1}{x+2}=1-\dfrac{1}{x+2}\neq1$

$y\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)$
分离常数法+范围限定

例题： $y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0)$

$y=1-\dfrac{1}{x+2}\ ,x>0$

$x+2>2$

$0<\dfrac{1}{x+2}<\dfrac{1}{2}$

$\cdots$

$\dfrac{1}{2}<1-\dfrac{1}{x+1}<1$

$y\in (-\dfrac{1}{2},1)$

也可用 $y$ 表示 $x$ 求解（反表示法）
图像法之一次比一次

例题： $y=\dfrac{x+1}{x+2}\ (x\geq0)$

双曲线画图象，先找渐近线： $x=-2,y=1$ （极限思想很方便）

再代入一个点（确定位置），比如 $(-1,0)$ 。

然后在图像上截取，得到 $y\in (-\dfrac{1}{2},1)$
方程思想（主元法，二次比二次）
例题： $y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1}$

方程思想

$yx^2-yx+y=2x^2-3x+3$

以 $x$ 为主元

$(y-2)x^2-(y-3)x+y-3=0$
1. 当 $y-2=0$ 即 $y=2$ 时， $x=1$
2. 当 $y\neq2$ 时，要使得关于 $x$ 的一元二次方程有解
  
  $\Delta=(y-3)^2-4(y-2)(y-3)\geq0$
  
  解得 $\dfrac{5}{3}\le y\le3$
  
  此时 $\dfrac{5}{3}\le y\le3$ 且 $y\neq2$
综上所述 $y\in[\dfrac{5}{3},3]$
图像法之对勾函数、飘带函数（基本不等式也可）

对勾函数：

$f(x)=x+\dfrac{k}{x}\ ,k>0$

渐近线 $x=0,y=x$

极值点： $(\sqrt{k},2\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-2\sqrt{k})$

$f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ ,ab>0$

渐近线 $x=0,y=ax$

极值点： $(\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}),(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab})$

飘带函数：

$f(x)=x-\dfrac{k}{x}$

渐近线 $x=0,y=x$

例题： $y=\dfrac{2x^2-3x+3}{x^2-x+1}\ (1<x<3)$

分离常数法

$y=2-\dfrac{x-1}{x^2-x+1}\ ,1<x<3$

换元法

令 $x-1=t,0<t<2$

$y=2-\dfrac{t}{t^2+t+1}$

$y=2-\cfrac{1}{t+\cfrac{1}{t}+1}$

利用对勾 $t+\dfrac{1}{t}\geq2$

一步步限制得到答案： $y\in[\dfrac{5}{3},2]$
图像法之含参问题
画出图像，分段进行分类讨论。

4. 求函数解析式

换元法（注上新元范围）（推荐）

例题：已知 $f(x-3)=x^2+2x+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式。

令 $x-3=t$ ，即 $x=t+3$

$f(t)=(t+3)^2+2(t+3)+1=t^2+8t+16$

$f(x)=x^2+8x+16$
配凑法
赋值法

例题：已知 $f(x-3)=x^2+2x+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式。

令 $x$ 为 $x+3$

$f(x)=(x+3)^2+2(x+3)+1=x^2+8x+16$
已知类型的复合函数

例题：已知一次函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=4x-1$ ，求 $f(x)$ 的解析式。

令 $f(x)=kx+b,k\neq0$

$k(kx+b)+b=4x-1$

$k^2x+kb+b=4x-1$

$k^2=4,kb+b=-1$

解得 $k=2,b=\dfrac{1}{3}$ 或 $k=-2,b=1$

即 $f(x)=2x-\dfrac{1}{3}$ 或 $f(x)=-2x+1$
消元法（解方程）

注：有时列一个方程不够，可以列多个。

例题：已知 $2f(x)+f(\dfrac{1}{x})=x+1$ ，求 $f(x)$ 的解析式。

令 $x$ 为 $\dfrac{1}{x}$ ，得 $2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{1}{x}+1$

与已知条件联立，得到 $f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3}$